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浮點數

名言：「算錢用浮點，遲早被人扁。」

浮點數是一個很難理解的東西，

這裡特別拿出來說明。

宣告

如果遇到一定要用浮點數的情況，請使用 double 或 long double 的型態，

不要使用 float！

不要使用 float！

不要使用 float！

IEEE 754 與浮點數誤差

現在還沒有完整的方式可以存一個實數，目前電腦的儲存方式是採用 IEEE 754 標準

IEEE 754

IEEE754是自20世紀80年代以來現代電腦最廣泛使用的浮點數運算標準，除了浮點數的表示以外，它還定義了關於負0、反常值以及其運算子與例外情況，像是inf(Infinite)、nan(Not A Number)這些特殊數值。

我們要先知道如何做進制轉換， 欲將十進位轉成二進位，對於整數部分，就是一直除以2直到商數為0，再依序由下往上取出餘數：

而小數則相反，需要一直乘以2直到變成0為止，且每次的運算都只取小數部分，再依序由上往下取出整數。

假設要轉換 432.1 為二進制，

由下往上寫結果就是 110110000

對小數部分

這時你會發現它是無限循環小數，結果為 $0.0\overline{0011}$

最後整數小數合併就是 $110110000.0\overline{0011}$

要如何表示單精度浮點數?

以 $12.625_{10}$ 這個浮點數為例，

1. 不管正負號，將 $12.625_10$ 拆成 $12+0.625$
2. 分別寫成二進位，即 $1100 + 0.101 = 1100.101$
3. 正規化，得到 $1100.101 = 1.100101 \times 2^3$，整數部分不可為0
4. Sign 佔 1 格，因為是正數，Sign為 0，如果是負數就是 1 => 0
5. Exponent 佔 8 格，次方數為 3，請加上 127 後轉成 8 位數二進位 => 10000010
6. Fraction(mantissa) 佔 23 格，把小數部分，也就是 101 填進去，如果不到 23 位，需要將後面補 0 直到滿足 23 位 => 10100000000000000000000

至此我們就完成了 IEEE754 單精度浮點數的轉換，需要注意的是，如果正規化後小數部分超過 23 位(無法整除)，就要直接放棄掉多的部分。

我們可以看更多範例：

以 $8.5$ 為例，

1. 不管正負號，將 $8.5$ 拆成 $8 + 0.5$
2. 分別寫成二進位， $8 + 0.5 = 2^3 + 2^-1 = 1000 + 0.1 = 1000.1$
3. 正規化後得到 $1000.1 = 1.0001 * 2^3$
4. 因為是正的，Sign填 $0$
5. 次方數為 $3$，加上 $127$ 後填入轉成二進位填入Exponent => $10000010$
6. 把0001填入Fraction(mantissa)並補滿23位，得到 $00010000000000000000000$

以 $1.1$ 為例，

1. 不管正負號，將 $1.1$ 拆成 $1 + 0.1$
2. 分別寫成二進位，注意看你會發現這個數在二進位下除不盡， $1 + 0.1 = 2^0 + 2^{-4} + 2^{-5} + 2^{-8} + 2^{-9} + 2^{-12} + 2^{-13} + 2^{-16} + 2^{-17} + 2^{-20} + 2^{-21} + 2^{-23} + … $ $ = 1 + 0.00011001100110011001101 = 1.00011001100110011001101$
3. 正規化後得 $1.00011001100110011001101 = 1.00011001100110011001101 * 2^0$
4. 正的 Sign 為0
5. 次方數為 0，加 127 後二進位為 $01111111$
6. 剩下的Mantissa填進去，得到 $00011001100110011001101$

以 $-3$ 為例，

1. 不管正負號，將 $3$ 拆成 $3+0.0$
2. 分別寫成二進位，$11.0$
3. 正規化後得 $1.1 * 2^1$
4. 負的 Sign 為 1
5. 次方數為 1，加上 127 後二進位為 $10000000$
6. Mantissa為 $10000000000000000000000$

強制轉型

可以將型別用小括號刮起來將後面的運算子強制轉型

cout << (double)5/3 << "\n";

四捨五入

有時會遇到需要將答案四捨五入到第 $k$ 位，使用 <iomanip> 控制。

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#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main(){
  double pi = 3.141592653589;
  
  cout << "Original: ";
  cout << pi << "\n";
  
  cout << "Fixed: ";
  cout << fixed << pi << "\n"; // 以固定位數輸出浮點數
  cout << pi << "\n";
  
  cout << "Set precision to 0: ";
  cout << setprecision(0) << pi << "\n"; // setprecision 指定輸出幾位數
  cout << pi << "\n";
  
  cout << "Set precision to 3: ";
  cout << setprecision(3) << pi << "\n";
  cout << pi << "\n";
  
  int k = 5;
  cout << "Set precision to k = 5: ";
  cout << setprecision(k) << pi << "\n";
  cout << pi << "\n";

}

做完後可觀察到，設定完輸出幾位數後會持續生效直到再次設定。

誤差應對

轉型

將浮點數轉成整數時由於是截斷取整，5.0 可能存成 4.999...，轉成整數時會被轉成 4，

為了解決這個問題，可以將它先加上一個極小值再做轉型，這個極小值通常是 $10^{-5}$ 到 $10^{-10}$，視需求決定。

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const double EPS = 1e-6;

宣告一個常數 double，值為 $10^{-6}$。

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cout << (int)(5.0 + EPS) ;

比較

直接使用 == 比較浮點數是一件危險的事，因為它們不一定會被精確保存，近似值不能保證它們以相同誤差保存。

解決的辦法是：如果它們很接近就當相等，也就是判斷它們的絕對值是否小於極小值。

載入數學函式庫 <cmath>，並使用 fabs() 得到浮點數的絕對值

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double a = 1.213;
double b = 3.639/3;
cout << (fabs(a - b) < EPS);