線性代數筆記-消去法
高斯消去法(Gaussian elimination)
梯形(Echelon form)
- 如果有以下性質，稱為簡化列梯形(reduced row-echeleon form)：
- 若該列並非全為 $0$，則該列第一個非零元素為 $1$(leading 1)。
- 若該列全為 $0$，則必須被放在矩陣的最下方。
- 對於連續兩個非零列，較低列的 leading 1 必須在較高列的 leading 1 的右邊。
- 每一行除了 leading 1 之外，其餘元素皆為 $0$。
- 如果只滿足前三項，稱為列梯形(row-echeleon form)。
- 簡化列梯形有列梯形的性質，但不一定相反。
以下為簡化列梯形的例子：
$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
以下為列梯形的例子：
$ \begin{bmatrix} 1 & a & b & c \\ 0 & 1 & d & e \\ 0 & 0 & 1 & f \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $
消去法(Elimination Methods)
高斯-喬登消去法(Gauss-Jordan elimination)
把矩陣轉成簡化列梯形
在把leading 1上方的元素都變成$0$的階段為反向階段(backward phase)。
高斯消去法(Gaussian elimination)
把矩陣轉成列梯形
把leading 1下方的元素都變成$0$的階段為正向階段(forward phase)。
逆向帶入(Backward substitution)
- 用於求解簡化列梯形的線性方程系統。
- 由最後一個方程開始，往前帶入求解。
- 若有自由變數，則配任意值，求通解。
齊次方程系統(Homogeneous linear equations)
- 常數項都是 $0$
- 一定有 $(0,0,…,0)$ 的解，稱為顯解(Trivial solution)。
- 如果有其他解，稱為隱解(Non-trivial solution)。
- 此系統只有兩種可能：
- 有無限多解
- 只有顯解
未知數的線性系統
- 如果簡列梯形的leading 1 對應該未知數，稱為領導變數(leading variable)。
- 其他稱為自由變數(free variable)。
- 領導變數的數量稱為此系統的階或秩(rank)。
PS
- 每個矩陣的簡化列梯形都是唯一的，列梯形不唯一。
- 所有矩陣的列梯形有同數量、同位置的零列與leading 1。
